DIAGRAMA DEL ARBOL
Como ya se ha visto, laEs tadís tic a es unaCi enc i a con la que se pretende buscar las regularidades existentes en el comportamiento de los datos. Sabemos que la Estadística se puede clasificar en dos grandes bloques: Estadística Descriptiva e Inferencia Estadística. Con el primero lo que se hace es dar un conjunto de métodos y herramientas que permiten estudiar esas regularidades cuando lo que observamos es toda la población. Es decir admitimos que es posible realizar esa operación de recuento exhaustivo. En tal caso lo que realizamos con la estadística es estudiar, describir, el comportamiento de una variable determinada. Esa observación exhaustiva nos permite realizar afirmaciones “categóricas” sobre las distintas características de la variable, tales como cual es su media, su dispersión, la forma de la distribución, etc. Pero esa posibilidad de observación exhaustiva no siempre es posible. En la gran mayoría de los casos nos vemos limitados a realizar una observación parcial de la variable. Con ese conjunto limitado de datos intentaremos conocer las características de toda la población, es decir, intentaremos inferir su comportamiento. Así una empresa antes de lanzar un nuevo producto estará interesada en conocer cual puede ser su cuota de mercado, para lo cual realizará un sondeo de opinión entre algunos de sus potenciales clientes. Pero el resultado de ese sondeo, basado en una muestra (observación parcial), no le permite concluir cual será su verdadera cuota de mercado. La decisión que tome respecto a ese producto estará marcada por un cierto grado de incertidumbre. Pero que duda cabe que, en esas situaciones, nuestras afirmaciones ya no pueden ser “categóricas” y las decisiones que se tomen puede que no sean las más acertadas como consecuencia de la información no contenida en la muestra. Más bien al contrario debemos admitir que nuestras conclusiones están sujetas a un margen de incertidumbre que es la consecuencia de nuestra observación parcial de la realidad. Ante tales circunstancias nuestro objetivo será doble: por un lado estudiar el comportamiento de la variable y de otro reducir en la medida de lo posible ese margen de incertidumbre o, al menos, intentar cuantificar esa falta de certeza en relación a las características de las variables. Una forma de cuantificar esa incertidumbre es haciendo uso del concepto de probabilidad. De hecho la probabilidad es un concepto con el que convivimos de forma diaria, incluso sin percatarnos de él. Cada vez que hacemos uso de las expresionesqui zás, tal vez, es probable, puede que, etc. estamos implícitamente hablando en términos probabilísticos. La incertidumbre es una acompañante inseparable de todas las ciencias sociales e incluso de las físicas como señaló Heisenberg con el enunciado del principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. La afición al juego fue lo que impulsó el desarrollo de la probabilidad. En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar. Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad, se extiende junto con la estadística a muchos campos, como la política, los negocios, la predicción del clima, y la investigación científica. Las probabilidades son de gran importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión. Experimento Determinístico: Es aquel experimento en el que es posible predecir el resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno más hidrógeno el resultado
2 es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado. Experimento aleatorio: Es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto (o prueba) uno o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza. Ejemplo: lanzar un dado y observar su resultado, contar objetos defectuosos producidos diariamente por cierto proceso, etc. Espacio muestral: se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado. Este conjunto se denotara porΩ. Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral, que se le conoce como punto muestral. Ejemplo: Experimento aleatorio: lanzar un dado y observar el resultado obtenido:Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Experimento aleatorio: lanzar una moneda dos veces:Ω ={CC, CS, SC, SS}. Experimento aleatorio: lanzar una moneda tres veces:Ω ={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, CSS}. Experimento aleatorio: tomar un examen:Ω ={aprobar, desaprobar} Experimento aleatorio: seleccionar un alumno de acuerdo a su rendimiento académico Ω= {sobresaliente, bueno, regular, malo} Evento o suceso: Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinación de resultados. También se dice que es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos se denotan por letras mayúsculas: Ejemplos: Experimento Aleatorio: se hace rodar un dado y se observael número que aparece en la cara superior. Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento:A: obtener un número parA ={2, 4, 6} Experimento aleatorio: lanzar una moneda dos veces:Ω ={CC, CS, SC, SS}. Evento:B: obtener dos caras B ={CC} Experimento aleatorio: arrojar una moneda cuatro veces y contar el número de sellos obtenidos Ω= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento: C: Obtener más de dos sellos C ={3, 4} Experimento aleatorio: lanzar dos dados y se observa los puntos obtenidos Ω= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento: D: obtener la suma de puntos igual o mayor que 10 Ω= {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento: E: el número del primer dado sea mayor que el segundo Ω= {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} Eventos Mutuamente Excluyentes: Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decirA∩B = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.
3 Eventos Dependientes: Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta la probabilidad de obtener basto es de 10/40 y alno sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, en este caso la segunda extracción depende de la primeraque tenía como probabilidad 10/40 y la segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segunda extracción es afectada por la primera. Eventos Independientes: Se dice que dos ó más eventos son independientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros sucesos. Ej.El evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una moneda, esta compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dado no afecta la probabilidad de la apariciónde sello en la moneda y viceversa. Eventos complementarios: Dos eventos AyĀ son complementarios si y solo si, se cumple que:P(A) + P(Ā) = P(Ω), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S),pero P(Ω) = 1, entonces, P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā),donde P(Ā),se lee probabilidad deA complemento. Eventos no Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que pueden verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles. REGLAS DE CONTEO La capacidad de identificar y contar los puntos muestrales de un experimento es un paso importante para comprender lo que puede suceder en él. Veamos un experimento que consiste en lanzar dos monedas, donde los resultados experimentales se definen en función de comportamiento de casa y sellos que dan hacia arriba de las monedas. ¿Cuántos resultados experimentales (o puntos muestrales) son posibles en este experimento? Podemos considerar que el experimento de lanzar dos monedas se lleva a cabo en dos etapas: la etapa 1 corresponde a lanzar la primera moneda, y la etapa 2 a lanzar la segunda. El diagrama de árbol es un dispositivo gráfico útil para visualizar un experimento de varias etapas y enumerar los resultados experimentales. C CC C S CS C SC S S SS Se observa que hay cuatro resultados experimentales del hecho de lanzar dos monedas, y el espacio muestral del mismo se puede presentar mediante: Ω= {CC, CS, SC, SS}. Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples: Una regla útil para determinar la cantidad de puntos muestrales para un experimento de varias etapas es la siguiente: Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1)(n2)…(nk). Esto es, la cantidad de resultados del experimento total es el producto de las cantidades de resultados en cada etapa.
4 Regla de conteo para combinaciones: La cantidad de combinaciones de N objetos tomando n a la vez es: )! ( ! ! n N n N C N n − = Ejercicios: 1.Un experimento consiste en hacer tres llamadas de venta. En cada una habrá compra o no compra.
a.Trace un diagrama de árbol de este experimento.
b.Identifique cada punto muestral y el espacio muestral. ¿cuántos puntos muestrales hay?
c.¿Cuántos puntos muestrales habría si el experimento consistiera en cuatro llamadas?
2.En la ciudad de Milford, las aplicaciones de cambio de zonificación siguen un proceso de dos etapas: una revisión por la comisión de planeación, y una decisión final por el consejo ciudadano. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la petición de cambio de zonificación y emite una recomendación positiva o negativa acerca del cambio. En el paso 2 en consejo ciudadano revisa la recomendación de la comisión de planeación y vota aprobándola o rechazándola. En algunos casos el voto del consejo ciudadano concordó con la recomendación de dicha comisión. El constructor de un complejo de viviendas acaba de presentar una solicitud de cambio de zonificación. Considere que el procesamiento de la solicitud es un experimento. a.¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos. b.Trace un diagrama de árbol de este experimento. 3.Un experimento consiste en seleccionar al azar 4 alumnos y conocer si practican deporte o no.
a.¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos.
b.Trace un diagrama de árbol de este experimento.
4.Un inversionista que revisa el desempeño de seis acciones seleccionará dos de ellas para invertir ¿Cuántas combinaciones alternativas de dos acciones debe tomar en cuenta el inversionista. 5.Pérez y Compañía formará un comité de planeación a largo plazo, con el encargo de desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un nuevo producto. El presidente ha identificado a siete gerentes capaces como candidatos para el comité. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité de tres miembros? 6.Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara, o se desecha. Después se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. 7.Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde(V),también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A).
a.Trace un diagrama de árbol de este experimento.
b.¿De cuántas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisas o viceversa?
8.Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes:
1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada(E).
2.- Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P).
3.- Postre:Torta (T), o Helado (H).
Construyaun diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas (aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir. OPERACIONES CON EVENTOS Los eventos o sucesos son conjuntos, en consecuencia se pueden combinar eventos para formar nuevos eventos, para el efecto se realizan diferentes operaciones con conjuntos. i.A∪B (A unión B), es el evento que ocurre si y sólo si A o B o ambos ocurren
5 ii.A∩B (A intersección B), es el evento que ocurresi y sólo si A y B suceden simultáneamente iii.A´ (Complemento de A), es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre. A∪B A∩B A´ Ejemplo: En el experimento de lanzar dos monedas y un dado Ω= {CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CC6, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6} Se define los siguientes eventos:
F ={que aparezca dos caras y un número par}
G ={que aparezca un dos}
Es decir: F ={CC2, CC4, CC6} G ={CC2, CS2, SC2, SS2} Ahora podemos definir:
a)F y G sucedan, es decir F∩G ={CC2}
b)Sucede F ó G , es decir F∪G ={CC2, CS2, SC2, SS2, CC4, CC6}
c)Que no ocurra F, es decir F´ (elementos que no pertenecen a F)
F´ ={CC1, CC3, CC5, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2 SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6} LIC. RENE DAVILA"
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